Στα δύο προηγούμενα άρθρα μας για την πολυπλοκότητα (15 και 22/2) είδαμε πώς η εκρηκτική ανάπτυξη της γνώσης στη σύγχρονη Φυσική και τη Βιολογία επέφερε σοβαρά ρήγματα στην «κλασική» αιτιοκρατική κοσμοαντίληψη που μέχρι πολύ πρόσφατα κυριαρχούσε σε αυτές τις επιστήμες. Στις μέρες μας, η σχεδόν καθολική απόρριψη των απλοϊκών εξηγητικών σχημάτων συνοδεύεται από την ανάδυση μιας πραγματικά πολύπλοκης επιστημονικής σκέψης, ικανής να κατανοεί το γνωστικό της αντικείμενο χωρίς να το απλοποιεί ή να το παραμορφώνει υπερβολικά. Σήμερα, με τη βοήθεια του Αλέξη Μπακόπουλου, διαπρεπή Ελληνα μαθηματικού, θα επιχειρήσουμε να διαφωτίσουμε κάποιες μαθηματικές πτυχές των πολύπλοκων συστημάτων. Ετσι ολοκληρώνεται η παρουσίαση των βασικών τομέων της πολύπλοκης σκέψης, ενώ για τις ιδιαίτερα ανατρεπτικές γνωσιολογικές, κοινωνιολογικές και ηθικοπολιτικές συνέπειές της θα μιλήσουμε στο επόμενο άρθρο μας.

Πολυπλοκότητα 3. Φράκταλς, οι μορφοκλασματικές δομές

«Η βαθύτερη κατανόηση των πολύπλοκων γεωμετρικών ιδιοτήτων και σχέσεων των φράκταλς φαίνεται να αποκαλύπτει κάποιους εγγενείς μηχανισμούς μορφογένεσης στον οργανικό και τον ανόργανο κόσμο», υποστηρίζει ο επιφανής μαθηματικός Αλέξης Μπακόπουλος

Γράφει ο Σπύρος Μανουσέλης

Οταν ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός-φυσικός Πιερ Σιμόν ντε Λαπλάς παρουσίασε στον Ναπολέοντα Βοναπάρτη το περίφημο βιβλίο του για την Ουράνια Μηχανική, ο αυτοκράτορας έκανε την ακόλουθη παρατήρηση: «Κύριε, λέγεται ότι σε αυτό το έργο σας για το Σύμπαν δεν αναφέρετε ούτε μία φορά τον Θεό». «Μεγαλειότατε, δεν μου ήταν απαραίτητη μια τέτοια υπόθεση», ήταν η ειλικρινής και ετοιμόλογη απάντηση του επιστήμονα. «Πρόκειται, ωστόσο, για μια ωραία υπόθεση, που εξηγεί πολλά πράγματα», αντέτεινε πονηρά ο αυτοκράτορας, για να λάβει όμως την αποστομωτική απάντηση: «Αναμφίβολα, εξηγεί τα πάντα. Δυστυχώς όμως δεν μας επιτρέπει να προβλέπουμε τίποτα»!

Το μοντέλο του Σύμπαντος στο οποίο αναφέρεται ο Λαπλάς ήταν το μηχανιστικό πρότυπο εξήγησης: το Σύμπαν δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια γιγάντια, στατική και άχρονη μηχανή, «καταδικασμένη», από τη γέννησή της μέχρι σήμερα, να επαναλαμβάνει μονότονα τις ίδιες ακριβώς αιτιοκρατικές κινήσεις που της επιβάλλουν οι αιώνιοι και αμετάβλητοι φυσικοί νόμοι.

Εξάλλου, ο Γαλιλαίος, μεγάλος μαθηματικός και πατέρας της κλασικής Φυσικής, θεωρούσε τη Φύση σαν ένα γιγάντιο βιβλίο που είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα. Πίστευε λοιπόν ότι τα στοιχεία και τα σύμβολα αυτής της τέλειας γλώσσας είναι, εκτός από τους αριθμούς, τα τρίγωνα, οι κύκλοι και άλλες γεωμετρικές παραστάσεις. Βέβαια, τέτοια τέλεια γεωμετρικά σχήματα τα συναντάμε σπανιότατα σε φυσικά αντικείμενα, όσο για την ακριβή περιγραφή της μορφής ενός ζωντανού οργανισμού ή ενός σύννεφου, είναι κυριολεκτικά αδιανόητη με όρους ευκλείδειας γεωμετρίας. Σήμερα όμως διαθέτουμε τα αναγκαία μαθηματικά εργαλεία για την περιγραφή αυτών των πολύπλοκων αντικειμένων. Ενα τέτοιο ισχυρότατο εργαλείο είναι η γεωμετρία των φράκταλς που μας επιτρέπει τόσο τη στατική όσο και τη δυναμική περιγραφή πολύπλοκων φυσικών αντικειμένων όπως οι ζωντανοί οργανισμοί. Ζητήσαμε από τον Αλέξη Μπακόπουλο, διαπρεπή Ελληνα μαθηματικό, να μας ξεναγήσει στον ασυνήθιστο κόσμο των φράκταλς και στο πώς αυτά διαφωτίζουν τις πρόσφατες ανακαλύψεις μας σχετικά με το Χάος.

• Τι ακριβώς είναι τα φράκταλς, οι μορφοκλασματικές δομές, όπως αποδίδονται στα ελληνικά; Και γιατί αυτά τα γοητευτικά γεωμετρικά αντικείμενα αποτελούν αντικείμενο έρευνας των πιο ετερογενών επιστημονικών κλάδων: από τη μικροφυσική μέχρι την κυτταρική βιολογία και από την αστροφυσική μέχρι την ανθρώπινη ανατομία;

Ο όρος «φράκταλ» προέρχεται από το λατινικό fractio (θραύσμα, κομμάτι), λόγω της κλασματικής διάστασής του, και πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoit Mandelbrot) το 1975. Ηδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1960, αλλά κυρίως την επόμενη δεκαετία, ο Μάντελμπροτ φρόντισε να προσφέρει έναν αρκετά ευρύ αλλά μαθηματικά ακριβή ορισμό τους καθώς και των ιδιαίτερων ιδιοτήτων τους (αυτοομοιότητα, κλασματική διάσταση, μικρή επιφάνεια φράκταλ αλλά άπειρη σε μήκος περίμετρος).

Τα φράκταλ είναι μια γενίκευση των κλασικών γεωμετρικών σχημάτων (τρίγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα, πυραμίδες κ.τ.λ.) σε μη κανονικά και συχνά πολύπλοκα «γεωμετρικά» σχήματα, τα οποία είτε βρίσκονται στη φύση είτε κατασκευάζονται από τον άνθρωπο για διάφορες εφαρμογές ή απλώς για την ομορφιά τους. Ετσι, η «φρακταλική» γεωμετρία μάς επιτρέπει να περιγράφουμε ικανοποιητικά και να απεικονίζουμε πολύπλοκες φυσικές δομές όπως τα φύλλα των δέντρων, τα φτερά των πουλιών, το νεφρό του ανθρώπου, μονοκύτταρους οργανισμούς, πυρήνες κυττάρων, αλλά και σύννεφα, ποτάμια, γαλαξίες. Επιπλέον, η βαθύτερη κατανόηση των πολύπλοκων γεωμετρικών ιδιοτήτων και σχέσεων των φράκταλς φαίνεται να αποκαλύπτει κάποιους εγγενείς μηχανισμούς μορφογένεσης στον οργανικό και τον ανόργανο κόσμο.

Αξίζει όμως να αναφερθεί ότι παράλληλα με αυτές τις σημαντικές επιστημονικές εξελίξεις υπάρχουν πολύς τσαρλατανισμός και μόδα σχετικά με τα φράκταλς.

• Η «αυτοομοιότητα», στην οποία αναφερθήκατε, είναι ίσως η πιο θεμελιώδης αλλά και η πιο «δύσπεπτη» ιδιότητα όλων των φράκταλ δομών – είτε είναι φυσικές είτε τεχνητές. Τι σημαίνει αυτή η σκοτεινή έννοια;

Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά ένα μικρό κομμάτι από ένα σύννεφο ή ένα μικρό τμήμα ανθρώπινου νεφρού, διαπιστώνουμε ότι η βασική γεωμετρική του δομή παραμένει η ίδια σε κάθε κλίμακα (από το πολύ μικρό μέχρι το πολύ μεγάλο). Οπως οι ρωσικές κούκλες ματριούσκι, τα φράκταλς διατηρούν τη βασική γεωμετρία τους σε κάθε κλίμακα. Αυτήν την ιδιότητα, που οι μαθηματικοί την αποκαλούν «αυτοομοιότητα», ή μάλλον στατιστική αυτοομοιότητα, δεν την διαθέτουν τα κλασικά γεωμετρικά σχήματα: ένα κομμάτι κύκλου ή τετραγώνου δεν είναι ποτέ το ίδιο σχήμα με όλο τον κύκλο ή με όλο το τετράγωνο.

Η αυτοομοιότητα αναφέρεται ρητά σε μια εσωτερική «οργανική» ευστάθεια που σχετίζεται με τη λεγόμενη «ολογραφία», δηλαδή με την εγγενώς ολογραφική οργάνωση αυτών των δομών. Οταν λέμε ότι «το νεφρό είναι ολογραφικό» σημαίνει ότι αν του αφαιρέσεις ένα οποιοδήποτε κομμάτι, το υπόλοιπο θα είναι το ίδιο τόσο οπτικά όσο και οργανωτικά, βιοχημικά και λειτουργικά. Αυτή η ευστάθεια, δηλαδή η ολογραφική δικτύωση πολλών βιολογικών μας δομών (πνευμονικοί βρόγχοι, φλέβες και αρτηρίες, νεφρά, συκώτι, ακόμη και το νευρικό σύστημα και εν μέρει ο εγκέφαλος), ίσως μας λέει κάτι σημαντικό για τη «γεωμετρική αναγκαιότητα» της δαρβινικής μας εξέλιξης, δηλαδή για τη φρακταλική μορφογένεση πολλών δομών στα ανώτερα και πιο πολύπλοκα ζώα.

• Τι σχέση όμως έχουν αυτά τα αφηρημένα μαθηματικά αντικείμενα με τις δυναμικές του Χάους, τις οποίες συναντάμε σήμερα στις πιο διαφορετικές επιστήμες;

Ενα τυπικό χαρακτηριστικό κάποιων μη γραμμικών, δηλαδή «χαοτικών», φαινομένων στη φύση, τα οποία εύκολα αναγνωρίζει κανείς, είναι η απότομη μεταβολή καταστάσεως, όπως π.χ. το ξέσπασμα καταιγίδων, τα μπουρίνια, οι τυφώνες, οι οικολογικές καταστροφές και άλλες καταστροφές εν γένει. Οι επιστήμονες όμως χρειάζονται αυστηρούς ορισμούς προκειμένου να χρησιμοποιήσουν την πανοπλία των Μαθηματικών για την απόδειξη αξιόπιστων ποιοτικών και ποσοτικών αποτελεσμάτων (θεωρήματα). Εκτός από κάποια μεμονωμένα παραδείγματα χαώδους δυναμικής που δόθηκαν από γνωστούς μαθηματικούς στο τέλος του δέκατου ένατου αιώνα και στο πρώτο ήμισυ του εικοστού, η θεωρία του Χάους θεμελιώθηκε ως επιστήμη μόνο κατά το δεύτερο ήμισυ του εικοστού αιώνα.

Εκείνη την περίοδο δόθηκαν από μαθηματικούς και φυσικούς νέα και ιδιαίτερα ενδιαφέροντα παραδείγματα Χάους, τα οποία αποκάλυψαν κάποιες κοινές σε αυτά τα φαινόμενα σχέσεις, ιδιότητες και θεωρήματα. Οι εφαρμογές και η διεπιστημονική διερεύνηση τέτοιων φαινομένων επεκτάθηκαν σε όλες τις επιστήμες, ενώ η κατασκευή ισχυρών υπολογιστών επιτάχυνε τις εξελίξεις.

• Θα μπορούσατε να μας δώσετε έναν κοινά αποδεκτό ορισμό και ένα παράδειγμα χαώδους συστήματος;

Υπάρχουν σήμερα διάφοροι ορισμοί του Χάους – περισσότερο ή λιγότερο αυστηροί στη διατύπωσή τους. Περιληπτικά, ένα εξελισσόμενο εν τω χρόνω σύστημα (δυναμικό σύστημα) λέγεται χαοτικό αν (α′) είναι ευαίσθητο στις αρχικές του συνθήκες, και αν (β′) στην εξέλιξή του γίνεται ένα πλήρες «ανακάτεμα» της κατάστασης.

Παράδειγμα του (α′) είναι ένα καρύδι στον βόρειο πόλο μιας μπάλας του μπάσκετ υπό την επιρροή της βαρύτητας. Μικρές αρχικές μετακινήσεις του καρυδιού γύρω από τον βόρειο πόλο της μπάλας έχουν ως αποτέλεσμα μεγάλες αλλαγές της τροχιάς του. Παράδειγμα τού (β′) είναι ένα υγρό στο μπλέντερ. Σημεία του υγρού που είναι κοντά απομακρύνονται. Επίσης, σημεία που είναι μακριά το ένα από το άλλο θα έλθουν κάποτε κοντά. Γίνεται μια πλήρης ανάμειξη (mixing).

Σημειωτέον ότι η κατασκευή ισχυρών υπολογιστών διευκόλυνε σημαντικά τις σχετικές έρευνες διότι μόνο οι υπολογιστές μπορούν να υπολογίζουν τα διάφορα στάδια της εξέλιξης του εν λόγω δυναμικού συστήματος. Δηλαδή μας παρέχουν τη δυνατότητα άμεσης ψηφιακής προσομοίωσης των θεωρητικών και φυσικών καταστάσεων που μελετάμε. Οπως αποδεικνύεται, ορισμένα φράκταλς έχουν μια εγγενή σχέση με το χάος λόγω του επαναληπτικού τρόπου κατασκευής τους (δυναμικό σύστημα). Συγκεκριμένα, το όριο αυτής της «συσσωρευμένης» επανάληψης (ονομάζεται «ελκυστής») μεταφράζεται στην ιδιότητα της αυτοομοιότητας αυτών των φράκταλς, που, αν το καλοσκεφτούμε, είναι ένα είδος ολικού ανακατέματος (mixing).

Πάντως, τόσο η μελέτη των φράκταλς όσο και του Χάους μάς έχουν εισαγάγει σε μια ολότελα νέα θεώρηση της φύσης και των μαθηματικών.

…………………………………………………………………………….

Ποιος είναι

Ο Αλέξης Μπακόπουλος είναι ομότιμος καθηγητής μαθηματικών του ΕΜΠ. Δίδαξε στο Τμήμα Θεωρητικών Μαθηματικών του Πολιτειακού Πανεπιστημίου του Μίσιγκαν, στις ΗΠΑ, στο Τμήμα Πληροφορικής και Επιχειρησιακής Ερευνας του γαλλόφωνου Πανεπιστημίου του Μόντρεαλ στον Καναδά και ως επισκέπτης καθηγητής στο Πανεπιστήμιο των Παρισίων. Το 1980 εξελέγη τακτικός καθηγητής στο ΕΜΠ, στην έδρα της Αριθμητικής Ανάλυσης. Διετέλεσε διευθυντής του Τομέα Μαθηματικών και πρόεδρος του Γενικού Τμήματος Επιστημών στο ΕΜΠ.

………………………………………………………..

Για να μάθετε περισσότερα για την αυτοποίηση και την αυτοοργάνωση

Henri Atlan

Η αντίληψη για τη ζωή στη μεταγενομική εποχή

Τι είναι η αυτοοργάνωση 

μτφρ. επιμ. Λαοκρατία Λάκκα

εκδ. «Δίαυλος», σελ. 318

Πώς αναδύονται στη φύση οι πολύπλοκες έμβιες δομές, όπως π.χ. ένας μονοκύτταρος οργανισμός ή ένα πολυκύτταρο εγκεφαλικό δίκτυο; Και σε τι διαφέρουν τέτοια πολύπλοκα συστήματα από τα άλλα περίπλοκα συστήματα της φύσης; Η απάντηση σε αυτά τα δύο απολύτως αλληλένδετα ερωτήματα είναι, σύμφωνα με τον συγγραφέα, η αυτοοργάνωση.

Μέσα από τις σελίδες αυτού του βιβλίου ο Ανρί Ατλάν, ο μεγάλος θεωρητικός της πολυπλοκότητας από την αταξία, αναδεικνύει και αποκαλύπτει με πλήθος παραδειγμάτων μια ολότελα νέα (αλλά αυστηρά επιστημονική!) προσέγγιση των ζωικών φαινομένων: από τη ζωική αυτοοργάνωση έως την ανθρώπινη νοητική αυτοοργάνωση! Πρόκειται για έναν μακρύ διαλογισμό περί της ζωικής αυτονομίας που συγκροτείται και εκδηλώνεται πάντα ως αυτοοργάνωση.

Εργο μεγάλης πνευματικής ωριμότητας, το βιβλίο αυτό αποτελεί το αναγκαίο συμπλήρωμα, το «έτερον ήμισυ» μιας άλλης διάσημης και εξίσου σημαντικής προσέγγισης, όπως αυτή που περιγράφεται στο βιβλίο «Το δέντρο της γνώσης», των Ματουράνα και Βαρέλα. Σε αντίθεση με τους τελευταίους, οι οποίοι οδηγήθηκαν στη θεωρία της αυτοποίησης μελετώντας τη ζωική οργάνωση ως κλειστό σύστημα, ο Ατλάν περιγράφει τη ζωή (σε όλες της τις μορφές και σε όλες της τις εκδηλώσεις) ως ένα ανοικτό πολύπλοκο σύστημα που, χάρη στην αυτοοργάνωση, μπορεί να εκμεταλλεύεται την αταξία για να διατηρεί την αυτονομία του.

H. Maturana, F. Varela

Το δέντρο της γνώσης Οι βιολογικές ρίζες της ανθρώπινης νόησης

μτφρ. επιμ. Σπύρος Μανουσέλης

εκδ. «Κάτοπτρο», σελ. 268

Σύμφωνα με τη Βίβλο, η απαρχή της ανθρώπινης κατάστασης συμπίπτει με την τέλεση μιας παραβατικής πράξης: οι Πρωτόπλαστοι δοκίμασαν τον απαγορευμένο καρπό από το δέντρο της γνώσης του καλού και του κακού. Εκτοτε τα πάντα άλλαξαν.

Στο περίφημο αυτό βιβλίο τους οι πρωτοπόροι Χιλιανοί βιολόγοι Ουμπέρτο Ματουράνα και Φρανσίσκο Βαρέλα ανατρέχουν στον αρχετυπικό μύθο του «δέντρου της γνώσης» για να μας προτείνουν έναν εξίσου απαγορευμένο -μέχρι πολύ πρόσφατα- επιστημονικό καρπό: ότι η γνώση της ζωής και η γνώση της γνώσης αποτελούν δύο όψεις του ίδιου νομίσματος!

Πολύ συνοπτικά, στις σελίδες του ο αναγνώστης θα βρει όχι απλώς την πλήρη έκθεση της αυτοποιητικής θεωρίας αλλά και το πώς η κατανόηση της έμβιας οργάνωσης μπορεί να εξηγήσει τη γνώση αφού, όπως υποστηρίζουν και τεκμηριώνουν επαρκώς οι συγγραφείς, η αυτοποιητική ταυτότητα είναι πρωτίστως και κατεξοχήν γνωστική ταυτότητα. Ετσι η γνώση από παθητική «αναπαράσταση» μεταμορφώνεται σε μια ενεργό διαδικασία που έχει τις ρίζες της στη βιολογική μας οργάνωση, βάσει της οποίας δημιουργούμε, κυριολεκτικά, τον κόσμο της εμπειρίας μας. Διόλου περίεργο λοιπόν που οι συγγραφείς αναγκάζονται να αναλύσουν θέματα «φιλοσοφικά» όπως η φύση της επιστημονικής εξήγησης, η κοινωνική οργάνωση των έμβιων όντων, η γλώσσα και η ανάδυση της αυτοσυνείδησης.

Εντγκάρ Μορέν

Η Μέθοδος

5. Η ανθρώπινη ταυτότητα μτφρ. Τιτίκα Δημητρούλια

εκδ. «Εικοστού Πρώτου», σελ. 439

Το φιλόδοξο πνευματικό εγχείρημα της συγγραφής μιας ενιαίας αλλά πλήρους σύγχρονης μεθόδου, το οποίο ανέλαβε, πριν από πολλά χρόνια, ο Εντγκάρ Μορέν, ο μεγάλος Γάλλος θεωρητικός (και προπαγανδιστής) της σύγχρονης πολύπλοκης σκέψης, συνοψίζεται σε αυτόν τον πέμπτο τόμο του μνημειώδους έργου «Η Μέθοδος».

Οπως υποστηρίζει ο Μορέν, η δυνατότητα να συλλάβουμε την ανθρώπινη πολυπλοκότητα παρεμποδίζεται από τις κυρίαρχες γνωστικές προσεγγίσεις που υιοθετούμε άκριτα και αβασάνιστα. «Ετσι ο άνθρωπος παραμένει “αυτός ο άγνωστος’’, λιγότερο από άγνοια και περισσότερο από τη μη προσήκουσα γνώση. Εξού και το παράδοξο: όσο περισσότερες γνώσεις αποκτούμε τόσο λιγότερο κατανοούμε το ανθρώπινο ον», όπως πολύ εύστοχα επισημαίνει ο Μορέν. Η προσέγγιση της ανθρώπινης πολυ-ταυτότητας, που επιχειρείται σε αυτό το βιβλίο, ουδεμία σχέση έχει με τις παραδοσιακές επιμεριστικές και κατατμηστικές προσεγγίσεις, οι οποίες άλλοτε στερούν από το ανθρώπινο ον τη βιολογική του ταυτότητα και το ρίζωμά του στη φύση και άλλοτε αναδεικνύουν την υποκειμενικότητα και την ιστορικότητα του ανθρώπινου όντος εις βάρος όμως της βιολογικής του ταυτότητας.

Για όποιον ενδιαφέρεται –και είναι έτοιμος!– να διατρέξει τους μαιάνδρους της ανθρώπινης πολυπλοκότητας το βιβλίο του Μορέν αποτελεί τον ιδανικό οδηγό για μια πραγματικά πολύπλοκη προσέγγιση της ανθρώπινης κατάστασης, μια προσέγγιση που υπερβαίνει τους καθιερωμένους ακαδημαϊκούς διαχωρισμούς.